Булева алгебра. Частина 2. Основні закони і функції

Наши партнеры ArtmMisto

Продовження розповіді про булевої алгебри, умовні позначення, правила, операції Продовження розповіді про булевої алгебри, умовні позначення, правила, операції. Перехід до основ контактних схем.

В першій статті було розказано про Джорджа Буля як про творця алгебри логіки. У другій статті буде розказано про основні операції булевої алгебри, методах спрощення булевих виразів. Отже, булева алгебра в якості аргументів використовує висловлювання, причому не їх зміст, а істинність або хибність висловлювання.

Форма запису виразів в булевої алгебри.

Якщо висловлювання істинно, то його записують так: А = 1, якщо ж воно помилкове, то А = 0 (адже невірно, що картопля - це фрукт). Для будь-якого висловлювання А або істинно (А = 1), або хибно (А = 0). Середини тут бути не може. Про це ми вже говорили.

Якщо два простих висловлювання з'єднати союзом І, то вийде складне висловлювання, яке називають логічним твором. Візьмемо два простих висловлювання: «Три більше двох» позначимо літерою А, «Три менше п'яти» - буквою В.

Звідси складне висловлювання «Три більше двох І менше п'яти» є логічне (в даному випадку велика літера І, говорить про те, що це «І» логічна операція, також як далі в тексті «АБО» і «НЕ».) Твір висловлювань А і В. Позначається воно так: A ^ B або А * В.

Логічне множення (операція "І").

В елементарній алгебрі А * А = А2. Але в алгебрі Буля А * А = А2 = А, А * А = А так як знак множення (*) тепер позначає ... І ... в сенсі І ... І. Весь наш досвід підтверджує, що і А І А - це те ж саме, що одне А. З цим не можна не погодитися. Істинність висловлювання не змінюється, якщо його повторити співмножником кілька разів.

Твір двох висловлювань вважається дійсним (рівним 1), тоді, і тільки тоді, коли обидва співмножники істинні, і хибним (рівним 0), якщо хоч один із співмножників хибна. Погодьтеся, що ці правила не суперечать здоровому глузду, і, крім того, вони повністю відповідають правилам елементарної алгебри:

1 * 1 = 1, 1 * 0 = 0 = 0 * 1 = 0, 0 * 0 = 0.

Перше рівність читається так: якщо і А і В істинні, то твір А * В істинно. В алгебрі Буля знак множення (*) замінює союз І.

Логічні твори можуть включати не два, а більше число висловлювань - співмножників. І в цьому випадку твір буває істинним тільки тоді, коли одночасно істинними все висловлювання-співмножники.

Логічне додавання (операція "АБО")

Якщо два висловлювання з'єднати союзом АБО. то утворене складне висловлювання називається логічною сумою.

Розглянемо приклад логічної суми. Висловлення А: «Сьогодні я піду в кіно».

Висловлювання В: «Сьогодні я піду на дискотеку». Складаємо обидва висловлювання і отримуємо: «Сьогодні я піду в кіно АБО на дискотеку».

Це складне висловлювання позначається так: А + В = С або (А V В) = С.

Через З ми позначили складне висловлювання логічної суми.

У розглянутому прикладі союз АБО можна вживати в виключає сенсі. Адже в один і той же день можна потрапити І в кіно І на дискотеку. А ось висловлювання:

«Головою садового товариства буде Петров або Іванов» -не є логічною сумою, тому, що головою буде тільки хтось один, а інший простим рядовим садівником - любителем.

Знак V для позначення логічної суми обраний тому, що це початкова буква латинського слова «vel», що означає «або», на відміну від латинського слова «aut>, що означає« і ». Тепер всім повинно бути ясно, чому логічне твір позначається знаком ^.

В елементарній алгебрі є правило A + А = 2А. Це правило вірно, яке б число ні зображувалося буквою А. В булевої алгебри йому відповідає правило А + А = А. Весь наш життєвий досвід говорить, що сказати А ЧИ А ЧИ обидва А є лише інший і довший спосіб сказати просто А.

Як і будь-яке складне висловлювання, сума двох висловлювань А і В може бути істинною або помилковою. Сума вважається дійсною, тобто дорівнює одиниці, якщо хоч одна з складових істинно:

А + В = 1, якщо АБО А = 1 АБО В = 1, що узгоджується зі звичайною арифметикою:

1 + 0 = 0 + 1 = 1.

Якщо обидва складаються висловлювання істинними, то сума вважається також істинної, тому в алгебрі Буля маємо: (1) + (1) = 1.

Дужки тут поставлені для того, щоб підкреслити умовний, сенс цього складання, а не арифметичний.

Сума двох висловлювань вважається помилковою і рівною нулю тоді, а тільки тоді, коли обидва доданків помилкові. Звідси:

0 + 0 = 0.

Отже, сума двох висловлювань А + В вважається дійсною, якщо істинно АБО А, АБО В, АБО обидва доданків разом. Таким чином, слово АБО позначається знаком +.

Пам'ятаючи, що висловлювання А і В можуть бути тільки істинними або помилковими і, отже, мати міру істинності 1 або 0, результати розглянутих операцій І та АБО можна звести в таблиці 1 і 2.

Третя операція, широко використовувана алгеброю Буля, - операція заперечення - НЕ. Нагадуємо, елементарна алгебра користується операціями СКЛАСТИ, Відняти, Помножити НА, РОЗДІЛИТИ НА і деякими іншими.

Для кожного висловлювання А існує його заперечення НЕ А, яке ми будемо позначати символом / А. Це ні в кого не повинно викликати сумніву.

Наведемо приклади: «Ми поїдемо в ліс» А, «Ми не поїдемо в ліс» / А.

Якщо висловлювання А істинно, тобто А = 1, то його заперечення / А обов'язково має бути помилково / А = 0. І навпаки, якщо будь-яка висловлення помилкове, то його заперечення істинно. Наприклад: «Кінь не їсть сіна» / А = 0, «Кінь їсть сіно» (А = 1). Це можна виразити таблицею 3.

Визначаючи зміст дії заперечення, і вважаючи, що з двох висловлювань А і / А завжди одне істинно, слідують дві нові формули алгебри Буля:

А + (/ А) = 1 і А * (/ А) = 0.

Є ще й інші формули, що спрощують логічну обробку висловлювань. Наприклад, 1 + А = 1, так як, згідно з визначенням складання, в разі, коли один доданок дорівнює одиниці, сума завжди дорівнює одиниці. Отриманий результат не залежить від того, чи буде А = 0 або А = 1.

Кожна з трьох розглянутих нами логічних операцій (І, АБО, НЕ) має певні властивості, близькими до правил елементарної алгебри. Якщо все їх сформулювати, то отримаємо 25 правил булевої алгебри. Їх цілком достатньо для вирішення майже будь-якої логічної задачі. Без цих правил вирішувати логічні завдання через їх уявній заплутаності стає досить важко. Намагатися знайти правильну відповідь, не користуючись правилами, - значить замінювати їх кмітливістю і загальними міркуваннями. Правила значно полегшують цю роботу і економлять час.

В рамках статті неможливо розглянути всі ці 25 правил, але бажаючі завжди можуть знайти їх у відповідній літературі.

Як уже згадувалося в першій статті в 1938 році молодий американський вчений Клод Шеннон в статті «Символічний аналіз релейних і перемикачів схем» вперше використовує булеву алгебру для задач релейної техніки. Відкриття Шеннона полягала в тому, що він зрозумів, що метод конструювання релейних автоматів та електронних обчислювальних машин є фактично розділ математичної логіки.

Так часто буває. Вчений довгі роки трудиться над будь-якою проблемою, яка його співвітчизникам здається абсолютно непотрібною - просто забавою. Але проходять десятиліття, а іноді і століття, і нікому не потрібна теорія не тільки набуває право на існування, але без неї вже стає немислимий подальший прогрес.

Що допомогло Шеннону вдруге «відкрити» булеву алгебру? Випадок? Нічого подібного.

Любов до релейним автоматам, побудованим на звичайних вимикачах і реле, допомогли молодому вченому зв'язати забуту теорію з завданнями автоматичних телефонних станцій, над якими він працював в той час. Надалі ту ж ідею «так чи ні» Шеннон ввів в розгляд дискретних повідомлень і заклав основу цілого розділу кібернетики-теорії інформації.

Алгебра Буля дуже підійшла для аналізу і синтезу релейних схем. Досить було як істинного висловлювання прийняти: «Сигнал в ланцюзі є», а в якості помилкового - «Сигналу в ланцюзі немає», як з'явилася нова алгебра - алгебра сигналів, алгебра релейних схем.

Нова алгебра справедлива тільки для розгляду релейних і перемикачів ланцюгів. Адже тільки в таких схемах задовольняється умова «сигнал є» і «сигналу немає». Там, де сигнал змінюється безперервно, набуваючи як завгодно велике число проміжних умов (такий сигнал називається аналоговим), релейний алгебра непридатна. Про це потрібно завжди пам'ятати. Але як раз більшість електронних обчислювальних машин і кібернетичних автоматів використовують дискретний принцип обробки сигналів, в основу якого покладено елементи «так - ні».

Вираз «Контакт замкнутий» Шеннон прийняв за дійсне (1), а «Контакт розімкнути» - за хибне (0). Всю решту «алгебру», включно з операціями І, АБО і НЕ і 25 правил Шеннон запозичив у Буля.

Алгебра релейних схем вийшла простіше алгебри Буля, так як вона має справу тільки з елементами типу «так - ні». Крім того, нова алгебра більш наочна.

Елементами в цій алгебрі є контакти, які ми будемо позначати буквами А, В, С ... Контакт замкнут- А, контакт розімкнений - / А (буква з рискою).

Система позначень, як бачите, повністю взята з алгебри Буля. Розімкнутий контакт є запереченням замкнутого контакту. Один і той же контакт не може бути одночасно замкнутим і розімкнутим.

Домовимося, що якщо в якій-небудь схемою два контакти позначені однією і тією ж буквою, то це означає, що вони завжди приймають одні і ті ж значення.

У кожен даний момент вони або обидва одночасно розімкнуті, або обидва замкнуті. Найпростіше їх представити механічно з'єднаними разом так, що обидва вони одночасно розмикаються або замикаються.

Якщо в деякій ланцюга будь-який контакт є заперечення іншого контакту, то їх значення завжди протилежні. Наприклад, контакти С і / С ніколи не можуть бути одночасно розімкнуті або одночасно замкнуті. А на схемі їх можна представляти механічно з'єднаними: якщо один з них розмикається, то інший замикається.

Знайомство з релейного алгеброю почнемо з розбору найпростіших схем, відповідних операцій І, АБО і НЕ.

Твором двох контактів (операція І) будемо називати схему, отриману в результаті їх послідовного з'єднання: вона замкнута (дорівнює 1) тільки тоді, коли обидва контакти замкнуті (рівні 1).

Сумою двох контактів (операція АБО) будемо називати схему, утворену при їх паралельному з'єднанні: вона замкнута (дорівнює 1) тоді, коли замкнутий (дорівнює 1) хоча б один з утворюють схему контактів.

Протилежний даному контакту (операція НЕ) - це контакт, рівний 0 (розімкнутий), якщо даний контакт дорівнює 1 (замкнутий), і навпаки.

Як і в алгебрі Буля, якщо контакти позначені буквами А і В, то твір двох контактів ми будемо позначати через А * В, суму - через А + В, а контакт, протилежний А, - через / А. Сказане пояснимо малюнками 1, 2 і 3.

Достовірність таблиць, відповідних операцій І, АБО і НЕ. тепер ні в кого не повинна викликати сумнівів.

Зупинимося на двох прикладах: 1 * 0 = 0 і 1 + 0 = 1.

З малюнка видно, що постійно замкнутий контакт, послідовно з'єднаний з постійно розімкненим контактом, еквівалентний постійно розімкненим контакту (1 * 0 = 0) Постійно замкнутий контакт, паралельно з'єднаний з постійно розімкненим контактом, еквівалентний постійно замкнутому контакту.

Познайомившись з арифметикою контактних схем, можете будь-яку релейний схему описати формулою, використовуючи для цього прийняті умовні позначення. У кібернетиці такі формули називаються структурними.

Якщо структурна формула будь-якої релейного схеми дорівнює 1, то через неї зможе пройти сигнал - ланцюг замкнута. І навпаки, якщо структурна формула схеми дорівнює 0, сигнал через неї не пройде - ланцюг розірвана. Висновок: дві релейні схеми еквівалентні один одному тоді, коли рівні їх структурні формули.

У продовженні статті ми з вами розглянемо приклади контактних схем, типові контактні схеми і їх еквіваленти, в також складання схем по структурним формулам. Також розглянемо основні логічні мікросхеми, що виконують функції булевої алгебри.

Продовження статті: Булева алгебра. Частина 3. Контактні схеми

Борис Аладишкін

Що допомогло Шеннону вдруге «відкрити» булеву алгебру?
Випадок?
Главное меню
Реклама

Архив новостей
ArtmMisto
Наши партнеры ArtmMisto. Игроки могут начать свое азартное приключение на сайте "Buddy.Bet", который только что открылся для всех ценителей азарта.

Реклама

© 2013 mexpola.h1a25414f