приватна похідна

Наши партнеры ArtmMisto

Цей термін має також інші значення див. похідна . Символи з подібним зображенням: д · მ

В математичному аналізі приватна похідна - одне з узагальнень поняття похідної на випадок функції декількох змінних. Приватна похідна - це границя відношення приросту функції за обраною змінної до приросту цієї змінної, при прагненні цього приросту до нуля.

В явному вигляді приватна похідна функції f {\ displaystyle f} в точці (a 1, a 2, ..., a n) {\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})} визначається наступним чином:

∂ f ∂ xk (a 1, ⋯, an) = lim Δ x → 0 f (a 1, ..., ak + Δ x, ..., an) - f (a 1, ..., ak, ..., an) Δ x . {\ Displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {k}}} (a_ {1}, \ cdots, a_ {n}) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac { f (a_ {1}, \ ldots, a_ {k} + \ Delta x, \ ldots, a_ {n}) - f (a_ {1}, \ ldots, a_ {k}, \ ldots, a_ {n} )} {\ Delta x}}.}

Слід звернути увагу, що позначення ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}} слід розуміти як цілісний символ, на відміну від звичайної похідної функції однієї змінної d f d x {\ displaystyle {\ frac {df} {dx}}} , Яку можна уявити, як відношення диференціалів функції і аргументу. Однак, і приватну похідну можна представити як відношення диференціалів, але в цьому випадку необхідно обов'язково вказувати, за якою змінною здійснюється приріст функції: ∂ f ∂ x ≡ dxfdx {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ equiv {\ frac {d_ {x} f} {dx}}} , Де d x f {\ displaystyle d_ {x} f} - приватний диференціал функції f {\ displaystyle f} по змінній x {\ displaystyle x} . Часто нерозуміння факту цілісності символу ∂ f ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}} є причиною помилок і непорозумінь, як, наприклад, скорочення ∂ x {\ displaystyle \ partial x} в вираженні ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial t}}} [1] .

Геометрично, приватна похідна дає похідну по напрямку однієї з координатних осей. Приватна похідна функції f {\ displaystyle f} в точці x → 0 = (x 1 0, ..., xn 0) {\ displaystyle {\ vec {x}} {\,} ^ {0} = (x_ {1} ^ {0}, \ ldots, x_ { n} ^ {0})} по координаті x k {\ displaystyle x_ {k}} дорівнює похідною ∂ f ∂ e → {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ vec {e}}}}} у напрямку e → = e → k = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) {\ displaystyle {\ vec {e}} = {\ vec {e}} {\,} ^ {k} = (0, \ ldots, 0,1,0, \ ldots, 0)} , Де одиниця стоїть на k {\ displaystyle k} -м місці.

Обсяг V конуса залежить від висоти h і радіусу r, згідно з формулою

V = π r 2 h 3, {\ displaystyle V = {\ frac {\ pi r ^ {2} h} {3}},}

Приватна похідна обсягу V щодо радіуса r

∂ V ∂ r = 2 π r h 3, {\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial r}} = {\ frac {2 \ pi rh} {3}},}

яка показує швидкість , З якої змінюється обсяг конуса, якщо його радіус змінюється, а його висота залишається незмінною. Наприклад, якщо вважати одиниці виміру обсягу m 3 {\ displaystyle m ^ {3}} , А вимірювання довжини m {\ displaystyle m} , То вищевказана похідна буде мати розмірність швидкості вимірювання обсягу m 3 / m {\ displaystyle m ^ {3} / m} , Тобто зміна величини радіуса на 1 m {\ displaystyle m} буде відповідати зміни обсягу конуса на 2 π r h 3 {\ displaystyle {\ frac {2 \ pi rh} {3}}} m 3 {\ displaystyle m ^ {3}} .

Приватна похідна щодо h

∂ V ∂ h = π r 2 3, {\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial h}} = {\ frac {\ pi r ^ {2}} {3}},}

яка показує швидкість, з якою змінюється обсяг конуса, якщо його висота змінюється, а його радіус залишається незмінним.

Повна похідна V щодо r і h

d ⁡ V d ⁡ r = 2 π rh 3 ⏞ ∂ V ∂ r + π r 2 3 ⏞ ∂ V ∂ hd ⁡ hd ⁡ r {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} r}} = \ overbrace {\ frac {2 \ pi rh} {3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial r}} + \ overbrace {\ frac {\ pi r ^ {2}} { 3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial h}} {\ frac {\ operatorname {d} h} {\ operatorname {d} r}}}

і

d ⁡ V d ⁡ h = π r 2 3 ⏞ ∂ V ∂ h + 2 π rh 3 ⏞ ∂ V ∂ rd ⁡ rd ⁡ h {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} h}} = \ overbrace {\ frac {\ pi r ^ {2}} {3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial h}} + \ overbrace {\ frac {2 \ pi rh} { 3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial r}} {\ frac {\ operatorname {d} r} {\ operatorname {d} h}}}

Різниця між повною і приватної похідною - усунення непрямих залежностей між змінними в останній.

Якщо (з деяких причин) пропорції конуса залишаються незмінними, то висота і радіус знаходяться у фіксованому відношенні k,

k = h r = d ⁡ h d ⁡ r. {\ Displaystyle k = {\ frac {h} {r}} = {\ frac {\ operatorname {d} h} {\ operatorname {d} r}}.}

Це дає повну похідну щодо r:

d ⁡ V d ⁡ r = 2 π rh 3 + k π r 2 3 {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} V} {\ operatorname {d} r}} = {\ frac {2 \ pi rh} {3}} + k {\ frac {\ pi r ^ {2}} {3}}}

Рівняння, в які входять приватні похідні, називаються диференціальнимирівняннями в приватних похідних і широко відомі в фізики , інженерії та інших науках і прикладних дисциплінах.

1. ↑ Фихтенгольц, «Курс диференціального й інтегрального числення»