8.2. Формула Релея-Джинса

Наши партнеры ArtmMisto

По теоремі про рівномірний розподіл енергії за ступенями свободи на одну ступінь свободи в класичної статистичної системі доводиться енергія KT / 2. У гармонічного осцилятора, що описує одну моду коливань, середня кінетична енергія дорівнює середній потенційної і тому його середня енергія дорівнює KT. В результаті отримаємо: .

Рівність називається Формулою Релея -Джінса. Вона добре узгоджується з досвідом при малих частотах. Але при W ® ¥ виходить неприпустиме співвідношення: U W, T Þ ¥. Крім того, повна об'ємна щільність випромінювання також прагне в нескінченність. Цей результат, який отримав назву ультрафіолетової катастрофи, перебуває в разючому протиріччі з досвідом.

Формула Вина

Він припустив, що кожна мода коливань є носієм енергії E (W), але не всі моди даної частоти порушено. Відносне число D N / N - порушених мод дається розподілом Больцмана; D N / N = E - E (W) / KT. Звідки для середньої енергії, що припадає на моди з частотою W, знаходимо

.

Із загальних термодинамічних міркувань Вин зробив висновок, що енергія моди частотою W пропорційна частоті, т. Е. (Коефіцієнт пропорційності дан в сучасних позначеннях у вигляді постійної Планка, яка в той час не була відома). Тоді формула c урахуванням набирає вигляду: Ця формула носить назву формули Вина і добре узгоджується з досвідом в області досить великих частот.

Формула Планка

Правильна формула спектральної щільності енергії рівноважного випромінювання, підтверджена всіма експериментальними дослідженнями, була знайдена Планком напівемпіричні шляхом. Потім Планк зробив теоретичний висновок цієї формули, викладеної ним 14 грудня 1900 року на засіданні Німецького фізичного товариства. Цей день вважається днем ​​народження нової - квантової фізики.

Основна гіпотеза Планка полягала в тому, що випромінювання і поглинання світла речовиною відбувається не безперервно, а кінцевими порціями, званими квантами світла або квантами енергії. Якщо дотримуватися методу, який був використаний для виведення формули Релея-Джинса, то гіпотезу Планка зручно сформулювати так: енергія гармонічного осцилятора може приймати не довільні, а тільки вибрані значення, що утворюють дискретний ряд: 0, E 0, 2 E 0, 3 E 0 , ..., де E 0- певна величина, що залежить тільки від власної частота W осцилятора. Тут під осциллятором розуміється не тільки частинка, здатна здійснювати гармонічні вільні коливання, але і стояча хвиля певної частоти в порожнині.

Якщо осцилятор знаходиться в порожнині, стінки якої підтримуються при постійній температурі, то поряд з випромінюванням відбуватимуться і акти поглинання, в результаті яких порушуються і вищі енергетичні рівні. Встановиться певний стан рівноваги, в якому число актів випромінювання в середньому дорівнює числу зворотних актів поглинання. У цьому стані будуть порушені всі енергетичні рівні, але з різними можливостями. Тому дли знаходження функції U W, T потрібно було визначити середню енергію осцилятора в стані статистичної рівноваги.

По теоремі Больцмана ймовірності порушення енергетичних рівнів осцилятора пропорційні величинам: Тому де введено позначення X = E 0 / (KT). Значення знаменника перепишеться так: Чисельник знаходиться дифференцированием цієї формули по X:

І, отже, Підставивши це значення в, знайдемо

Величину E 0 Планк визначив з вимоги, щоб останній вираз задовольняло загальної термодинамічної формулою Вина:

Так як E 0 є характеристика тільки самого осцилятора, тому вона не може залежати від температури Т, а повинна залежати тільки від власної частоти осцилятора. В такому випадку, щоб ліва частина останнього рівності була функцією тільки аргументу W / T необхідно і достатньо, щоб ,

де = 1,054 × 10-34Дж × с - постійна Планка.

Якщо вираз підставити в, то і вийде формула Планка: При << KT (малих частотах) формула переходить в закон Релея-Джинса, а при >> KT (великих частотах) - в закон Вина.

Закон Стефана-Больцмана

Інтегруючи функцію Планка по всіх частотах, отримаємо повну об'ємну щільність випромінювання:

або UT = AT 4, де 7,56 × 10-16 Дж м-3 K-4. Переходячи до енергетичної світності абсолютно чорного тіла з урахуванням (6), останнє співвідношення перепишемо так: E T = S T 4,

Де S = Ac / 4 = 5,67 10-8 Вт м-3 K-4 носить назву Постійної Стефана -Больцмана, а співвідношення описує Закон Стефана -Больцмана.

Закон зміщення Віна

Максимум спектральної щільності випромінювання може бути знайдений з формули. Проте нинішнє становище максимуму залежить від того, в якій шкалі визначається спектральна щільність. Як вказувалося, на практиці зазвичай користуються шкалою довжин хвиль і функцією спектральної щільності енергетичної світності випромінює тіла E L, T. Для абсолютно чорного тіла, з урахуванням і формула Планка для цієї функції набуває вигляду: де С 1 = 2 P Hc 2И З 2 = Hc / K - постійні. Функція E L, T описує так званий спектр випромінювання абсолютно чорного тіла, вид якого для різних температур представлений на рис. 8.1.

Мал. 8.1

Площі, обмежені кривими графіків, визначають енергетичні світності при різних температурах. Положення максимуму спектральної щільності енергетичної світності визначається з умови D E L, T / D L = 0, що дає для визначеннях L M Ах трансцендентне рівняння 5 = Xex (Ex - 1), де Рішенням цього рівняння є X = 4,865, що призводить до вираження L Max T = Ch / Kx = B,

Де B @ 0,0029 мK - постійна cмещенія Вина, а саме співвідношення називається Законом зміщення Віна. Як видно з рисунку 8 1, при підвищенні температури тіла максимум E L, Т зміщується в бік менших довжин хвиль відповідно про законом зміщення Віна. Максимальне значення спектральної щільності енергетичної світності відповідно до і змінюється з температурою по наступному закону: E L Max, Т = С 3 × T 5, де

Вт / (м2 мкм K5).