Kvant. Теорема електростатики - PhysBook

1. Чому дорівнює напруженість електростатичного поля всередині провідника?
2. Як спрямовані силові лінії біля поверхні зарядженого провідника?
3. Яка напруженість поля, створеного зарядженою площиною?
4. Чому дорівнює напруженість поля зарядженого проводить кулі?
5. Примітки

Наши партнеры ArtmMisto

Кикоин А.К. Теорема, що дозволяє вирішувати основні завдання електростатики // Квант. - 1984. - № 12. - С. 18-20.

За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу "Квант"

Відомо, що електростатичне поле часто зображують за допомогою силових ліній. Спробуємо встановити зв'язок між числом силових ліній N і зарядом q, що створює електричне поле. Для цього введемо поняття потоку електричного поля.

Потоком електричного поля через деяку поверхню будемо називати твір ES, де S - площа поверхні, а Е - модуль вектора напруженості електричного поля, перпендикулярного цій поверхні. [1] (Поняття «потік» тут введено за аналогією з потоком рідини, що протікає через поперечний переріз труби площею S в одиницю часу, який, як відомо, дорівнює υS ( «Фізика 8», §65).)

Мал. 1

Почнемо з найпростішого випадку - одного точкового заряду. Картина силових ліній поля, створеного позитивним точковим зарядом q, зображена на малюнку 1. Розглянемо сферу радіуса r, центром якої є сам заряд q, і визначимо потік електричного поля через поверхню цієї сфери. Силові лінії, що виходять з заряду, перпендикулярні поверхні сфери, і в кожній точці сфери, модуль напруженості поля дорівнює

\ (~ E = \ frac {q} {4 \ pi r ^ 2 \ varepsilon_0} \), (1)

де ε 0 = 8,85 · 10-12 Кл2 / (Н · м 2) - електрична постійна. Але 4 πr 2 - це площа поверхні сфери. Позначивши її через S, отримаємо:

\ (~ ES = \ frac {q} {\ varepsilon_0} \). (2)

Звідси видно, що потік через поверхню сфери електричного поля, створеного точковим зарядом, не залежить від радіуса сфери, а залежить тільки від самого заряду q. Тому, якщо провести ряд концентричних сфер, то потік електричного поля через всі ці сфери буде однаковим. Очевидно, що і число силових ліній, які перетинають ці сфери, теж буде однаковим.

Домовилися число силових ліній, що виходять з заряду, приймати рівним потоку електричного поля:

\ (~ N = ES = \ frac {q} {\ varepsilon_0} \). (3)

Ставлення \ (~ \ frac NS \), що представляє собою число силових ліній, які перетинають одиницю площі поверхні, перпендикулярної (ортогональної) силовим лініям, називають густотою силових ліній. Ясно, що вона характеризує величину напруженості поля в даному місці.

Можна показати, що потік електричного поля, а значить і число силових ліній, дорівнює \ (~ \ frac {q} {\ varepsilon_0} \) не тільки для поля одного точкового заряду, але і для поля, що створюється будь сукупністю точкових зарядів, в зокрема - зарядженим тілом. Тоді у формулі (3) q означає алгебраїчну суму всієї сукупності зарядів. Мало того, якщо сферу замінити будь-який інший замкнутою поверхнею, то потік електричного поля, а отже і число силових ліній, які перетинають її, не зміниться.

Твердження, що потік електричного поля і число силових ліній через замкнуту поверхню, всередині якої знаходиться система зарядів, дорівнює \ (~ \ frac {q} {\ varepsilon_0} \), де q - алгебраїчна сума зарядів, називається теоремою Гаусса.

Скористаємося теоремою Гаусса для вирішення деяких конкретних задач електростатики.

Чому дорівнює напруженість електростатичного поля всередині провідника?

Відомо, що провідник - це таке тіло, в якому є вільні заряди. Ці заряди дійсно вільно можуть переміщатися по всьому об'єму провідника. Єдиною перешкодою для їх пересування служитьповерхню провідника, яку вони самі покинути не можуть.

Розглянемо ізольований провідник, якому повідомлено електричний заряд. Навколо такого провідника, звичайно, створюється електростатичне поле. Доведемо, що всередині зарядженого провідника електростатичне поле відсутнє, тобто напруженість поля дорівнює нулю.

Як відомо, в незарядженому провіднику негативний заряд всіх електронів точно збалансований позитивним зарядом всіх протонів, і їх сумарний заряд дорівнює нулю. Але якщо провідник заряджений, то баланс зарядів порушується. У провіднику створюється надлишок вільних електронів, якщо він заряджений негативно, або надлишок протонів (недолік електронів), якщо він заряджений позитивно. У першому випадку, взаємно відштовхуючись, надлишкові електрони розійдуться один від одного на максимально можливі відстані, внаслідок чого вони розташуються на поверхні провідника (яку покинути не можуть). Усередині ж провідника баланс зарядів відновиться, і там сумарний заряд знову стане рівним нулю.

У другому випадку, навпаки, частина електронів з поверхні провідника, внаслідок сил тяжіння до позитивних зарядів, кинеться всередину провідника і збалансує надлишкові позитивні заряди. Сумарний заряд всередині провідника знову стане рівним нулю, а надлишковий позитивний заряд зосередиться на його поверхні.

Виходить, що заряд будь-якого знака, повідомлений провіднику, розташовується на його поверхні. Усередині ж провідника, тобто всередині замкнутої поверхні, якої в даному випадку служить поверхня самого провідника, заряд поранений нулю (q = 0). Але тоді з теореми Гаусса випливає, що

\ (~ E = \ frac {q} {\ varepsilon_0 S = 0} \),

тобто всередині провідника поля немає.

Як спрямовані силові лінії біля поверхні зарядженого провідника?

Мал. 2

На будь-який вільний електрон, що знаходиться на поверхні зарядженого провідника, діють сили з боку інших зарядів поверхні (в обсязі провідника сума позитивних і негативних зарядів дорівнює нулю). Маючи можливість вільно переміщатися по поверхні, електрони самі розташуються так, щоб результуюча сила, що діє на кожен з них уздовж поверхні, стала рівною нулю. Це означає, що проекція напруженості поля на напрям дотичній до поверхні провідника в будь-який її точці дорівнює нулю. А це можливо тільки за умови, що силові лінії поля спрямовані перпендикулярно поверхні зарядженого провідника (рис. 2).

Яка напруженість поля, створеного зарядженою площиною?

Мал. 3

На малюнку 3 зображено ділянку зарядженої провідної площини з площею S, на який припадає заряд q.

Ми знаємо, що силові лінії поля, створеного цією площиною, усюди перпендикулярні до неї. А чому дорівнює модуль напруженості електричного поля?

Оточимо обрану ділянку площині замкнутою поверхнею, через яку силові лінії проходять під прямим кутом до неї. Для площині такою поверхнею служить, наприклад, прямокутний паралелепіпед з підставами, паралельними площині. Силові лінії поля перпендикулярні тільки цих підстав, останні чотири грані паралелепіпеда паралельні силовим лініям. Площа обох підстав дорівнює 2 S.

З теореми Гаусса випливає, що

\ (~ E cdot 2 S = \ frac {q} {\ varepsilon_0 S = 0} \), звідки \ (~ E = \ frac {q} {2 \ varepsilon_0 S = 0} \).

Ця формула приведена в §45 «Фізики 9» без виведення. З формули видно, що напруженість поля в будь-якій його точці не залежить від відстані до зарядженої площини. Таке поле називають однорідним.

Чому дорівнює напруженість поля зарядженого проводить кулі?

Мал. 4

Оскільки куля проводить, силові лінії поля усюди спрямовані перпендикулярно його поверхні, тобто по радіусах (рис. 4). Знайдемо модуль напруженості поля в будь-якій точці М, що знаходиться на відстані R від центру кулі. Проведемо через цю точку замкнуту поверхню, ортогональную силовим лініям поля. Такий поверхнею служить сфера радіуса R і площею 4 πR 2, концентрична поверхні проводить кулі.

По теоремі Гаусса \ (~ ES = \ frac {q} {\ varepsilon_0} \). Звідси

\ (~ E = \ frac {q} {\ varepsilon_0 S} = \ frac {q} {4 \ pi R ^ 2 \ varepsilon_0} \)

- заряджений куля створює навколо себе велику таку ж полі, як точковий заряд, поміщений в центрі кулі (див. Рис. 4).

Примітки

1. ↑ Якщо електричне полі не перпендикулярно дайной поверхні, при обчисленні потоку електричного поля треба враховувати тільки проекцію вектора напруженості на напрямок нормалі до поверхні.