Теорема про рух центру мас системи

1. Інша формулювання теореми [ правити | правити код ]
2. Закон збереження руху центру мас [ правити | правити код ]

Наши партнеры ArtmMisto

Теорема про рух центру мас (центра інерції) системи - одна із загальних теорем динаміки , Є наслідком законів Ньютона . Стверджує, що прискорення центру мас механічної системи не залежить від внутрішніх сил , Що діють на тіла системи, і пов'язує це прискорення з зовнішніми силами, що діють на систему [1] [2] .

Об'єктами, про які йде мова в теоремі, можуть, зокрема, бути наступні:

• система матеріальних точок ;
• протяжне тіло або система протяжних тіл;
• взагалі будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тел.

Нерідко при розгляді руху системи корисно знати закон руху її центру мас. У загальному випадку цей закон, що становить зміст твердження теореми про рух центру мас системи, формулюється в такий спосіб [1] :

Твір маси системи на прискорення її центру мас дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил .

Нехай система складається з N {\ displaystyle N} матеріальних точок з масами m i {\ displaystyle m_ {i}} і радіус-векторами r → i {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}} . Як відомо [1] [3] , Центром мас (центром інерції) системи матеріальних точок називається геометрична точка, радіус-вектор R → c {\ displaystyle {\ vec {R}} _ {c}} якої задовольняє рівності

R → c = Σ imir → i M, (1) {\ displaystyle {\ vec {R}} _ {c} = {\ frac {\ displaystyle \ sum \ limits _ {i} m_ {i} {\ vec { r}} _ {i}} {M}}, \ qquad \ qquad (1)}

де M {\ displaystyle M} - маса всієї системи, що дорівнює Σ i m i. {\ Displaystyle \ sum \ limits _ {i} m_ {i}.}

Диференціюючи (1) два рази по часу, для прискорення центру мас a → c {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {c}} отримуємо:

a → c = Σ imia → i M, (2) {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {c} = {\ frac {\ displaystyle \ sum \ limits _ {i} m_ {i} {\ vec { a}} _ {i}} {M}}, \ qquad \ qquad (2)}

де a → i {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {i}} - прискорення матеріальної точки з номером i.

Для подальшого розгляду доцільно розділити всі сили, що діють на тіла системи, на два типи:

• Зовнішні сили - сили, що діють з боку тіл, що не входять в дану систему. Рівнодіючу зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером i, позначимо F → i {\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}} .
• Внутрішні сили - сили, з якими взаємодіють один з одним тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером i діє точка з номером k, будемо позначати f → i, k {\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i, k}} . Відповідно, сила впливу i -й точки на k -у точку буде позначатися f → k, i {\ displaystyle {\ vec {f}} _ {k, i}} . Зі сказаного очевидно, що якщо i = k {\ displaystyle i = k} , То f → i, k = 0. {\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i, k} = 0.}

Використовуючи введені позначення, другий закон Ньютона для кожної з розглянутих матеріальних точок можна записати у вигляді

m i a → i = F → i + Σ k f → i, k. (3) {\ displaystyle m_ {i} {\ vec {a}} _ {i} = {\ vec {F}} _ {i} + \ sum \ limits _ {k} {\ vec {f}} _ {i, k}. \ qquad \ qquad (3)}

Підсумовуючи все рівняння виду (3), отримаємо:

Σ i m i a → i = Σ i F → i + Σ i Σ k f → i, k. (4) {\ displaystyle \ sum \ limits _ {i} m_ {i} {\ vec {a}} _ {i} = \ sum \ limits _ {i} {\ vec {F}} _ {i} + \ sum \ limits _ {i} \ sum \ limits _ {k} {\ vec {f}} _ {i, k}. \ qquad \ qquad (4)}

Вираз Σ i Σ k f → i, k {\ displaystyle \ sum \ limits _ {i} \ sum \ limits _ {k} {\ vec {f}} _ {i, k}} являє собою суму всіх внутрішніх сил, що діють в системі. Врахуємо тепер, що за третім законом Ньютона в цій сумі кожній силі f → i, k {\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i, k}} відповідає сила f → k, i {\ displaystyle {\ vec {f}} _ {k, i}} така, що f → i, k = - f → k, i {\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i, k} = - {\ vec {f}} _ {k, i}} і, отже, виконується f → i, k + f → k, i = 0. {\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i, k} + {\ vec {f}} _ {k, i} = 0.} Оскільки вся сума складається з таких пар, то і сама сума дорівнює нулю. Таким чином, з (4) слід

Σ i m i a → i = Σ i F → i. (5) {\ displaystyle \ sum \ limits _ {i} m_ {i} {\ vec {a}} _ {i} = \ sum \ limits _ {i} {\ vec {F}} _ {i}. \ qquad \ qquad (5)}

Далі, позначивши Σ i F → i = F → {\ displaystyle \ sum \ limits _ {i} {\ vec {F}} _ {i} = {\ vec {F}}} і підставивши отримане вираз в (2), приходимо до рівняння

a → c = F → M {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {c} = {\ frac {\ vec {F}} {M}}} або до M a → c = F →. (6) {\ displaystyle M {\ vec {a}} _ {c} = {\ vec {F}}. \ Qquad \ qquad (6)}

Таким чином, рух центру мас визначається тільки зовнішніми силами, а внутрішні сили ніякого впливу на цей рух надати не можуть. Формула (6) є математичним виразом теореми про рух центру мас системи.

Інша формулювання теореми [ правити | правити код ]

Звернемо увагу на те, що вид формули (6) в точності той же, що і у формули другого закону Ньютона. Звідси випливає справедливість такого формулювання теореми про рух центру мас [1] [3] :

Центр мас рухається так, як рухалася б матеріальна точка, маса якої дорівнює масі системи, під дією сили, яка дорівнює сумі всіх зовнішніх сил, що діють на систему.

Закон збереження руху центру мас [ правити | правити код ]

З (6) випливає, що під час відсутності зовнішніх сил, а також за однакової кількості суми всіх зовнішніх сил нулю, прискорення центру мас дорівнює нулю, і, отже, його швидкість постійна. Таким чином, справедливим є твердження, що становить зміст закону збереження руху центру мас:

Якщо сума зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то центр мас такої системи рухається з постійною швидкістю, т. Е. Рівномірно і прямолінійно.

Зокрема, якщо спочатку центр мас спочивав, то в зазначених умовах він буде спочивати і надалі.

Із закону збереження руху центру мас слід, що система відліку, пов'язана з центром мас замкнутої системи, є інерціальній. Використання таких систем відліку при вивченні механічних властивостей замкнутих систем переважно, оскільки таким чином виключається з розгляду рівномірний і прямолінійний рух системи як цілого.

Можливі випадки, коли сума зовнішніх сил нулю не дорівнює, але дорівнює нулю її проекція на який-небудь напрямок. В цьому випадку проекція прискорення центру мас на цей напрямок також дорівнює нулю і, відповідно, швидкість центру мас уздовж цього напрямку не змінюється.

Доведена теорема розширює і обґрунтовує можливості використання поняття матеріальна точка для опису руху тіл. Дійсно, якщо тіло рухається поступально, то його рух повністю визначається рухом центру мас, яке в свою чергу описується рівнянням (6). Таким чином, поступально рухається тіло завжди можливо розглядати як матеріальну точку з масою, що дорівнює масі тіла, незалежно від його геометричних розмірів. Крім того, тіло можна розглядати як матеріальну точку і у всіх тих випадках, коли в силу умов завдання обертання тіла інтересу не представляє, а для визначення положення тіла досить знати положення його центру мас.

Практична цінність теореми полягає в тому, що при вирішенні задачі про визначення характеру руху центру мас вона дозволяє повністю виключити з розгляду всі внутрішні сили.

Закон збереження руху центру мас сформулював Ісаак Ньютон в своєму знаменитій праці « Математичні початки натуральної філософії », Виданому в 1687 році . І. Ньютон писав: «Центр ваги системи двох або декількох тіл від взаємодії тіл один на одного не змінює ні свого стану спокою, ні руху; тому центр ваги системи всіх діючих один на одного тел (при відсутності зовнішніх дій і перешкод) або знаходиться в спокої, або рухається рівномірно і прямолінійно » [4] . Далі він робив висновок: «Таким чином, поступальний кількість руху окремого чи тіла або системи тіл, треба завжди розраховувати по руху центру ваги їх» [4] .